Задача 3.3.32на какую высоту подскочит груз
Условие
На горизонтальной плите лежит груз. Плита начинает двигаться вверх, совершая по вертикали гармонические колебания с частотой \(\omega\) и амплитудой \(A\). На какую высоту от начального положения плиты подскочит груз после своего отрыва от её поверхности?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Точку отрыва мы уже знаем: \(x = g/\omega^2\) над средним положением. Там же находим
скорость по закону сохранения энергии колебания, а дальше — обычный полёт вверх.
Точка и скорость отрыва. Отрыв при \(x_{\text{о}} = g/\omega^2\), где скорость
\[ v_{\text{о}} = \omega\sqrt{A^2 - x_{\text{о}}^2} = \omega\sqrt{A^2-\frac{g^2}{\omega^4}} . \]Свободный подъём. После отрыва груз поднимается ещё на
\[ \frac{v_{\text{о}}^2}{2g} = \frac{\omega^2A^2 - g^2/\omega^2}{2g} = \frac{\omega^2A^2}{2g} - \frac{g}{2\omega^2}. \]Высота над начальным положением. Плита начала движение из нижней точки, то есть на \(A\) ниже среднего положения. Складываем:
\[ h = A + \frac{g}{\omega^2} + \left(\frac{\omega^2A^2}{2g}-\frac{g}{2\omega^2}\right) = A + \frac{g}{2\omega^2} + \frac{\omega^2A^2}{2g}, \]и всё это при условии \(\omega^2A > g\).
Проверка. На пороге \(\omega^2A = g\) получаем
\(h = A + A/2 + A/2 = 2A\) ✓ — груз «отрывается» ровно в верхней точке с нулевой
относительной скоростью, и его высота над стартом равна размаху плиты \(2A\) ✓. При
очень сильной тряске главный член \(\omega^2A^2/(2g)\) ✓ — это просто
\(v_{\max}^2/(2g)\), высота подъёма с максимальной скоростью плиты. Все три слагаемых
имеют размерность длины ✓.
Ответ
\( h = A + \dfrac{g}{2\omega^2} + \dfrac{\omega^2A^2}{2g} \) (при \( \omega^2A > g \)).