Задача 3.3.33★ резонанс подпрыгивающего груза
Условие
С какой амплитудой должна колебаться плита (см. задачу 3.3.32), чтобы наступил своеобразный резонанс: груз, подбрасываемый плитой, после каждого удара увеличивал бы высоту своего подъёма? Удары считать абсолютно упругими.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Чтобы каждый удар добавлял энергию, груз должен возвращаться на плиту всегда в одной и
той же фазе — тогда плита каждый раз встречает его одинаково и «подбивает». Для этого
время полёта обязано укладываться в целое число периодов плиты.
Условие повторяемости. Пусть груз отрывается со скоростью \(v_{\text{о}}\). Время свободного полёта
\[ t_{\text{пол}} = \frac{2v_{\text{о}}}{g}. \]Чтобы плита к моменту возвращения груза была в той же фазе, нужно
\[ t_{\text{пол}} = n\,T = \frac{2\pi n}{\omega} \quad\Longrightarrow\quad v_{\text{о}} = \frac{\pi n g}{\omega}. \]Связь с амплитудой. Скорость отрыва мы знаем из предыдущей задачи:
\[ v_{\text{о}}^2 = \omega^2A^2 - \frac{g^2}{\omega^2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{\pi^2n^2g^2}{\omega^2} = \omega^2A^2 - \frac{g^2}{\omega^2}, \] \[ \omega^2 A^2 = \frac{g^2}{\omega^2}\left(\pi^2n^2+1\right) \quad\Longrightarrow\quad A = \frac{g}{\omega^2}\sqrt{\pi^2n^2+1}. \]Проверка. При \(n = 1\) получаем \(A \approx 3{,}3\,g/\omega^2\)
✓ — заметно больше порога отрыва \(g/\omega^2\), и это разумно: чтобы груз улетел на
целый период плиты, подбросить его надо основательно. Ответ образует дискретный набор
амплитуд ✓ — в этом и состоит «своеобразный резонанс»: он наступает не при одной
частоте, а при выделенных амплитудах. Размерность \(g/\omega^2\) — длина ✓. Заметим, что
точный резонанс неустойчив: чуть отклонившись, груз попадёт в другую фазу и начнёт
терять энергию ✓ — поэтому на практике устанавливается некий средний режим.
Ответ
\( A = \dfrac{g}{\omega^2}\sqrt{\pi^2n^2+1} \), \(n\) — целое.