Пьезокварцевая пластинка колеблется с частотой \(\omega = 10^7\) с\(^{-1}\). На торец пластинки положили тело массы, сравнимой с массой пластинки. Коэффициент трения между телом и пластинкой \(\mu = 1\). Оцените, при какой амплитуде наличие этого тела существенно влияет на частоту колебаний пластинки. Оцените наибольшую скорость тела в установившемся режиме при \(A = 10^{-6}\) см.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Порог. Тело движется вместе с торцом, только если требуемое ускорение \(\omega^2 A\) не превышает того, что даёт трение:
\[ \omega^2 A \le \mu g \quad\Longrightarrow\quad A \le \frac{\mu g}{\omega^2} = \frac{1\cdot9{,}8}{10^{14}} \approx 10^{-13}\ \text{м} = 10^{-11}\ \text{см}. \]Только при таких — фантастически малых — амплитудах тело «прилипает» к торцу, входит в колебательную систему и заметно меняет её частоту. При больших амплитудах тело практически стоит, и пластинка колеблется так, будто его нет.
Скорость тела при \(A = 10^{-6}\) см. Здесь \(A\) в сто тысяч раз больше порога, так что тело всё время скользит. Трение постоянно по модулю \((\mu g)\) и меняет знак вместе со скоростью пластинки — то есть дважды за период. Значит тело попеременно разгоняется и тормозится с ускорением \(\mu g\), и за полпериода его скорость успевает измениться на \(\mu g\,T/2\). В установившемся режиме скорость колеблется около нуля с амплитудой
\[ v_{\max} = \mu g\cdot\frac{T}{4} = \frac{\pi \mu g}{2\omega} = \frac{\pi\cdot9{,}8}{2\cdot10^7} \approx 1{,}5\cdot10^{-6}\ \text{м/с}. \]