Наклонная плоскость совершает гармонические колебания с большой частотой вдоль своей поверхности. Каково установившееся движение тела, находящегося на ней? Какова средняя скорость этого тела за большое время, если \(\operatorname{tg}\alpha \ll \mu\), где \(\alpha\) — угол наклона плоскости, \(\mu\) — коэффициент трения, \(v_0\) — амплитуда скорости наклонной плоскости?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Среднее трение. Пусть плоскость колеблется со скоростью \(V = v_0\cos\omega t\), а тело ползёт со скоростью \(u \ll v_0\). Трение направлено против относительной скорости \(u - V\). Доля времени, когда \(V < u\), равна
\[ 1 - \frac{\arccos(u/v_0)}{\pi} \approx \frac12 + \frac{u}{\pi v_0}, \]то есть «тормозящие» полупериоды длиннее «разгоняющих» на \(2u/(\pi v_0)\) доли. Значит среднее трение
\[ \langle F_{\text{тр}}\rangle = -\mu m g\cos\alpha\cdot\frac{2u}{\pi v_0}. \]Установившееся движение. Оно наступает, когда среднее трение уравновешивает скатывающую силу:
\[ mg\sin\alpha = \mu mg\cos\alpha\cdot\frac{2u}{\pi v_0} \quad\Longrightarrow\quad u = \frac{\pi v_0\operatorname{tg}\alpha}{2\mu}. \]Тело равномерно сползает вниз, попутно подрагивая вместе с плоскостью.