Концы пружин могут скользить без трения по неподвижной вертикальной рамке, другими концами они прикреплены к телу массы \(m\): две пружины жёсткости \(k_1\) — по горизонтали, две пружины жёсткости \(k_2\) — по вертикали. Какой характер носит движение тела в общем случае, когда \(k_1 \ne k_2\)? В каких направлениях возможно прямолинейное движение и как его возбудить?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Две независимые частоты. Сдвинем тело по горизонтали на \(x\). Обе пружины \(k_1\) деформируются на \(x\) и тянут назад, а концы пружин \(k_2\) просто скользят по рамке и ничего не чувствуют. Значит
\[ \omega_1 = \sqrt{\frac{2k_1}{m}},\qquad \omega_2 = \sqrt{\frac{2k_2}{m}} \]— по горизонтали и по вертикали соответственно.
Общий случай. Движение есть наложение двух гармонических колебаний по взаимно перпендикулярным направлениям с разными частотами:
\[ x = A_1\cos(\omega_1 t+\varphi_1),\qquad y = A_2\cos(\omega_2 t+\varphi_2). \]Это фигура Лиссажу. Если отношение \(\omega_1/\omega_2\) рационально, траектория замкнута; если нет — линия никогда не замыкается и постепенно заполняет прямоугольник \(2A_1\times2A_2\).
Прямолинейное движение. При \(k_1\ne k_2\) частоты различны, и сумма двух колебаний разных частот прямой линией быть не может — кроме случаев, когда одна из амплитуд равна нулю. Значит прямолинейно тело движется только вдоль горизонтали или вдоль вертикали. Возбудить такое движение просто: отклонить тело строго по горизонтали (или строго по вертикали) и отпустить без начальной скорости — либо толкнуть его из положения равновесия строго вдоль одной из этих осей.