Пусть в условиях задачи 3.4.1 \(k_1 = k_2 = k/2\). Убедитесь, что в плоскости рамки возможны прямолинейные колебания в любом направлении. Каким способом нужно возбуждать колебания, чтобы движение происходило по окружности? Докажите, что при любом способе возбуждения траектория замкнутая. Найдите период движения.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Сила. Смещению \(\vec r = (x,y)\) отвечает сила
\[ \vec F = (-2k_1x,\ -2k_2y) = (-kx,\ -ky) = -k\vec r . \]Обе частоты одинаковы:
\[ \omega = \sqrt{\frac km}. \]Прямолинейные колебания в любом направлении. Сила всегда направлена вдоль \(-\vec r\), то есть строго к центру. Если отклонить тело в любую сторону и отпустить без начальной скорости, оно так и будет ходить по этой прямой — сойти с неё нечему.
Движение по окружности. Нужно, чтобы \(x\) и \(y\) колебались с одинаковой амплитудой и сдвигом фаз \(90^\circ\). Практически: отклонить тело на \(r\) и сообщить ему скорость \(v\), перпендикулярную отклонению, причём
\[ v = \omega r = r\sqrt{\frac km}. \]Это то же условие, что и для спутника: центростремительное ускорение \(v^2/r\) должно равняться \(kr/m\).
Замкнутость. Обе координаты колеблются с одной и той же частотой \(\omega\), поэтому через время \(T = 2\pi/\omega\) и \(x\), и \(y\), и обе скорости принимают прежние значения. Значит траектория замыкается при любом возбуждении — в общем случае это эллипс с центром в положении равновесия.
Период.
\[ T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac mk}. \]