а. Математический маятник совершает малые колебания в одной плоскости с амплитудой \(A\) и частотой \(\omega\). В момент максимального отклонения шарику сообщили небольшую скорость \(v\), перпендикулярную плоскости колебаний. По какой траектории он будет двигаться? В каких пределах будет изменяться расстояние до положения равновесия?
б. То же, если скорость \(v\) сообщена в момент, когда шарик находится на расстоянии \(x\) от положения равновесия.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
а. Толчок в крайней точке. В этот момент скорость вдоль старого направления равна нулю, а поперёк равна \(v\). Значит
\[ x = A\cos\omega t,\qquad y = \frac v\omega\sin\omega t \]— эллипс с полуосями \(A\) и \(v/\omega\), направленными вдоль старой плоскости колебаний и поперёк неё. Расстояние до положения равновесия меняется между полуосями:
\[ \frac v\omega \ \le\ r \ \le\ A \](если \(v/\omega < A\); иначе границы меняются местами).
б. Толчок в произвольной точке. Теперь оба колебания «сдвинуты по фазе» произвольно, и оси эллипса уже не совпадают с координатными. Полуоси \(a\) и \(b\) удобно найти из двух инвариантов. Первый — сумма квадратов полуосей: для эллипса, получаемого наложением, она равна сумме квадратов амплитуд по любым двум перпендикулярным направлениям,
\[ a^2+b^2 = A^2 + \frac{v^2}{\omega^2}. \]Второй — произведение полуосей, оно пропорционально «секториальной скорости», то есть моменту импульса; в момент толчка радиус-вектор равен \(x\), а перпендикулярная ему скорость равна \(v\):
\[ ab = \frac{x v}{\omega}. \]Значит \(a^2\) и \(b^2\) — корни квадратного уравнения \(z^2-(A^2+v^2/\omega^2)z+(xv/\omega)^2 = 0\):
\[ a,b = \sqrt{\frac12\left[A^2+\frac{v^2}{\omega^2} \pm\sqrt{\left(A^2+\frac{v^2}{\omega^2}\right)^{\!2} - \frac{4x^2v^2}{\omega^2}}\;\right]} . \]