Два шарика массы \(m_1\) и \(m_2\), прикреплённые к одинаковым пружинам, могут колебаться, скользя по бруску массы \(M\) без трения. Брусок лежит на горизонтальной плоскости. Шарики связаны нитью, сила натяжения которой \(F\). Нить пережигают. При каком наименьшем коэффициенте трения между плоскостью и бруском тот не сдвинется с места?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Что происходит с шариками. До пережигания нить растягивала обе пружины силой \(F\). После пережигания шарик \(i\) остаётся на месте, но силы \(F\) уже ничто не уравновешивает — он стартует из крайней точки:
\[ F_i(t) = F\cos\omega_i t,\qquad \omega_i = \sqrt{\frac{k}{m_i}} . \]Сила на брусок. Пружины закреплены на бруске, поэтому каждая тянет его с силой \(F_i\) — по третьему закону Ньютона. Пружины расположены по разные стороны и тянут брусок в противоположные стороны:
\[ F_{\text{брус}} = F\cos\omega_1 t - F\cos\omega_2 t . \]До пережигания эти силы уравновешивались ✓, а теперь расходятся по фазе.
Наихудший момент. Частоты разные, поэтому рано или поздно косинусы окажутся почти противоположными, и модуль силы подберётся к
\[ |F_{\text{брус}}|_{\max} = 2F . \]Условие неподвижности. Трение должно выдержать эту силу:
\[ \mu\,(M+m_1+m_2)g \ \ge\ 2F \quad\Longrightarrow\quad \mu_{\min} = \frac{2F}{(M+m_1+m_2)\,g}. \]