Задача 3.4.10частоты по числу касаний
Условие
Докажите, что если амплитуда колебаний по оси \(x\) равна \(A\), а по оси \(y\) равна \(B\), то фигура Лиссажу вписывается в прямоугольник со сторонами \(2A\) и \(2B\). Пусть фигура касается горизонтальных сторон в \(p = 3\) точках, а вертикальных — в \(q = 4\) точках. Как относятся частоты?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Касание горизонтальной стороны — это момент, когда \(y\) достигает амплитуды. За общий
период таких моментов ровно столько, сколько колебаний успевает сделать \(y\). Значит
число касаний прямо считает частоту.
Прямоугольник. Всегда \(|x| \le A\) и \(|y| \le B\), причём оба равенства достигаются. Значит кривая целиком лежит в прямоугольнике \(2A\times2B\) и касается всех его сторон.
Считаем касания. Пусть общий период равен \(T\). За это время \(y\) совершает \(n_y = T/T_y\) колебаний и столько же раз достигает верхней границы, то есть
\[ p = \frac{T}{T_y},\qquad q = \frac{T}{T_x} \](касания верхней и правой сторон). Отсюда
\[ \frac{p}{q} = \frac{T_x}{T_y} = \frac{\omega_y}{\omega_x}. \]Числа. При \(p = 3\), \(q = 4\)
\[ \omega_y : \omega_x = 3 : 4 . \]Проверка. Частоты относятся как обратные периоды, и
именно поэтому в ответе \(p:q\), а не \(q:p\) ✓. Проверим на знакомой фигуре:
восьмёрка с двумя лепестками бок о бок задевает верх дважды, бок — один раз, значит
\(\omega_y:\omega_x = 2:1\) ✓ — то же, что мы выяснили в задаче
3.4.8. Заметим, что касания в углах надо считать аккуратно ✓: там
кривая одновременно задевает и горизонтальную, и вертикальную сторону.
Ответ
\( \omega_y : \omega_x = p : q = 3 : 4 \).