На \(x\)- и \(y\)-пластины осциллографа подают гармонические сигналы, и на экране появляются картины, изображённые на рисунке. Как относятся периоды колебаний по \(x\) и \(y\) в случаях а–г?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Правило подсчёта. Если кривая касается горизонтальной стороны \(p\) раз, а вертикальной \(q\) раз, то
\[ \omega_y : \omega_x = p : q, \qquad\text{то есть}\qquad T_x : T_y = p : q . \]Случаи а, б, в. Здесь верхнюю сторону кривая задевает в двух точках, а боковую — в одной: \(p = 2\), \(q = 1\), значит по \(y\) колебания вдвое быстрее:
\[ T_x : T_y = 2 : 1 . \]Случай в проверяется совсем просто, без всякого счёта: это парабола \(y = 2(x/A)^2-1\), а такая зависимость получается ровно из \(\cos2\theta = 2\cos^2\theta-1\) при \(x = A\cos\theta,\ y = A\cos2\theta\) ✓ — то есть \(\omega_y = 2\omega_x\). Случаи а и б — та же пара частот, но с другими начальными фазами: два «высоких» лепестка бок о бок.
Случай г. Здесь наоборот: боковую сторону кривая задевает дважды, верхнюю — один раз, лепестки лежат друг над другом:
\[ T_x : T_y = 1 : 2 . \]Об ответах задачника. Там напечатано \(T_x:T_y = 1:2\) для а, б, в и \(2:1\) для г — то есть отношения перевёрнуты. Случай в решает спор однозначно: из параболы \(y = 2(x/A)^2-1\) следует \(\omega_y = 2\omega_x\), а значит период по \(x\) вдвое больше, а не вдвое меньше.