Савченко · Глава 3. Колебания и волны · § 3.4. Наложение колебаний

Савченко, задача 3.4.9

Задача 3.4.9замкнутость фигуры Лиссажу

Условие

Точка совершает гармонические колебания в двух взаимно перпендикулярных направлениях \(x\), \(y\) и движется по траектории, называемой фигурой Лиссажу. Докажите, что если частоты относятся как целые числа, то эта фигура — замкнутая кривая. Какой вид имеет фигура при равных частотах?

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Идея Кривая замкнётся, как только обе координаты одновременно вернутся к прежним значениям вместе со своими скоростями. Для этого нужно, чтобы у двух периодов нашлось общее кратное — а это возможно ровно тогда, когда их отношение рационально.

Общий период. Пусть \(T_x : T_y = p : q\), где \(p\) и \(q\) — целые. Обозначим \(T = q\,T_x = p\,T_y\). За это время

координата \(x\) совершает ровно \(q\) полных колебаний,

координата \(y\) — ровно \(p\) полных колебаний,

и обе они вместе со скоростями возвращаются к исходным значениям. Значит через время \(T\) точка оказывается в прежнем месте с прежней скоростью и дальше повторяет ту же траекторию: кривая замкнута.

Если отношение иррационально. Тогда общего кратного у \(T_x\) и \(T_y\) не существует, точка никогда не возвращается в прежнее состояние, и линия постепенно заполняет весь прямоугольник, никогда не замыкаясь.

Равные частоты. При \(T_x = T_y\) это случай \(p = q = 1\): траектория замыкается за один период. Как мы видели в задачах 3.4.3 и 3.4.5, это эллипс (в вырожденных случаях — отрезок или окружность).

Проверка. Чем «сложнее» отношение частот, тем длиннее общий период и запутаннее фигура ✓: при \(1:2\) кривая замыкается за два периода быстрого колебания, при \(3:4\) — за двенадцать. Именно поэтому на экране красивые устойчивые фигуры видны только при точных целых отношениях ✓, а при малейшей расстройке они «плывут» — это задача 3.4.7. Замкнутость не зависит от начальных фаз ✓ — они меняют вид фигуры, но не сам факт замыкания.

Ответ При \(T_x:T_y = p:q\) точка возвращается в исходное состояние через время \( T = qT_x = pT_y \), поэтому кривая замкнута. При равных частотах фигура — эллипс.

Следующая задача 3.4.10 →