Савченко · Глава 3. Колебания и волны · § 3.4. Наложение колебаний

Савченко, задача 3.4.5

Задача 3.4.5★ отрезок, окружность и эллипс

Условие

В условиях задачи 3.4.4 определите, при каком сдвиге фаз на экране виден отрезок; окружность. Докажите, что при произвольном постоянном \(\varphi\) след луча — эллипс с полуосями, лежащими на диагоналях квадрата. Найдите эти полуоси.

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Идея Перейдём к координатам вдоль диагоналей — к суммам и разностям. Тогда формулы сложения превращают систему в чистейший «косинус и синус», и эллипс оказывается прямо на осях.

С ростом сдвига фаз отрезок по диагонали раздувается в эллипс и при \(2\varphi=\pi/2\) становится окружностью.

Переходим к диагоналям. Сложим и вычтем уравнения:

\[ x+y = 2A\cos\omega t\cos\varphi,\qquad x-y = 2A\sin\omega t\sin\varphi . \]

Введём координаты вдоль диагоналей квадрата:

\[ u = \frac{x+y}{\sqrt2} = \sqrt2\,A\cos\varphi\,\cos\omega t,\qquad w = \frac{x-y}{\sqrt2} = \sqrt2\,A\sin\varphi\,\sin\omega t . \]

Это каноническое уравнение эллипса: \(u\) и \(w\) — чистые косинус и синус, значит

\[ \frac{u^2}{\left(\sqrt2A\cos\varphi\right)^2} + \frac{w^2}{\left(\sqrt2A\sin\varphi\right)^2} = 1 . \]

Оси эллипса лежат на диагоналях квадрата, а полуоси равны

\[ \sqrt2\,A\cos\varphi \quad\text{и}\quad \sqrt2\,A\sin\varphi . \]

Вырожденные случаи. Отрезок получается, когда одна из полуосей обращается в нуль:

\[ \sin\varphi = 0\ \text{или}\ \cos\varphi = 0 \quad\Longrightarrow\quad 2\varphi = \pi n . \]

Окружность — когда полуоси равны:

\[ |\cos\varphi| = |\sin\varphi| \quad\Longrightarrow\quad 2\varphi = \pm\frac\pi2 + 2\pi n . \]

Проверка. Сумма квадратов полуосей равна \(2A^2(\cos^2\varphi+\sin^2\varphi) = 2A^2\) ✓ — не зависит от \(\varphi\), как и должно быть: это сохранение энергии. При \(2\varphi = \pi/6\) полуоси \(1{,}37A\) и \(0{,}37A\) ✓ — согласуется с предыдущей задачей. Радиус окружности выходит равным \(A\) ✓ (при \(\varphi = \pi/4\): \(\sqrt2 A\cos45^\circ = A\)) — и это правильно, ведь амплитуды по обеим осям равны \(A\).

Ответ Отрезок при \(2\varphi = \pi n\), окружность при \(2\varphi = \pm\pi/2+2\pi n\); полуоси эллипса \( \sqrt2A\cos\varphi \) и \( \sqrt2A\sin\varphi \) лежат на диагоналях квадрата.

Следующая задача 3.4.6 →