Задача 3.4.6смещение и скорость на осциллографе
Условие
При изучении гармонических колебаний осциллятора электрическое напряжение, пропорциональное смещению, подаётся на \(x\)-пластины осциллографа, а напряжение, пропорциональное скорости, — на \(y\)-пластины. Какую картину мы увидим на экране?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Скорость отличается от смещения множителем \(\omega\) и сдвигом фазы ровно на четверть
периода. Косинус и синус одной частоты дают эллипс, причём с осями по координатным
осям.
Что подано на пластины.
\[ x \propto A\cos\omega t,\qquad y \propto -A\omega\sin\omega t . \]Исключая время, получаем
\[ \left(\frac{x}{A}\right)^{\!2} + \left(\frac{y}{A\omega}\right)^{\!2} = 1 \]— эллипс с осями, направленными по горизонтали и вертикали. Его полуоси пропорциональны \(A\) и \(A\omega\).
Проверка. Сдвиг фаз ровно \(90^\circ\) — и по общему правилу
получается эллипс с осями по координатным осям ✓, что согласуется с задачей
3.4.5 (там при равных амплитудах вышла бы окружность). Обход эллипса
происходит всегда в одну и ту же сторону ✓ — по часовой или против, в зависимости от
полярности подключения. Такая картинка — стандартный «фазовый портрет» осциллятора ✓; по
отношению полуосей прямо считывается частота \(\omega\), а по их изменению со временем
видно затухание.
Ответ
Эллипс с осями по горизонтали и вертикали (полуоси относятся как \(1:\omega\)).