Савченко · Глава 3. Колебания и волны · § 3.4. Наложение колебаний

Савченко, задача 3.4.7

Задача 3.4.7медленно плывущая фигура

Условие

Отклонение луча описывается уравнениями \(x = A\cos[(\omega-\Omega/2)t]\), \(y = A\cos[(\omega+\Omega/2)t]\), где \(\Omega \ll \omega\), причём след луча гаснет за время, много меньшее \(2\pi/\Omega\). Какую картину мы увидим на экране?

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Идея Это та же пара колебаний, что и в задаче 3.4.4, только сдвиг фаз теперь не постоянный, а медленно нарастающий: \(2\varphi = \Omega t\). Значит на экране та же фигура, но она медленно «дышит».

Мгновенный сдвиг фаз. Перепишем:

\[ x = A\cos(\omega t - \varphi),\qquad y = A\cos(\omega t + \varphi),\qquad \varphi = \frac{\Omega t}{2}. \]

За время одного быстрого оборота \(2\pi/\omega\) величина \(\varphi\) почти не меняется, поэтому в каждый момент видна фигура из задачи 3.4.5 с полуосями

\[ \sqrt2A\cos\frac{\Omega t}{2} \quad\text{и}\quad \sqrt2A\sin\frac{\Omega t}{2}. \]

Что мы увидим. В начальный момент — отрезок по диагонали экрана. Он раздувается в эллипс, вытянутый вдоль этой диагонали; полуоси постепенно сравниваются, и при \(\Omega t = \pi/2\) на экране окружность. Дальше эллипс вытягивается уже вдоль другой диагонали, при \(\Omega t = \pi\) снова вырождается в отрезок — теперь по второй диагонали, — и всё повторяется. Полный цикл занимает время

\[ \frac{2\pi}{\Omega}. \]

Проверка. Сумма квадратов полуосей всё время равна \(2A^2\) ✓ — фигура «переливается», не меняя размаха по осям. Оговорка про гаснущий след существенна ✓: если бы след держался дольше \(2\pi/\Omega\), мы увидели бы сразу весь заполненный квадрат, а не отдельную фигуру. Это стандартный способ увидеть, что частоты почти равны ✓: чем медленнее «дышит» фигура, тем ближе частоты, а по времени цикла прямо измеряется разность \(\Omega\).

Ответ Отрезок по диагонали раздувается в эллипс, затем в окружность, затем в эллипс по другой диагонали и снова в отрезок; весь цикл повторяется с периодом \( 2\pi/\Omega \).

Следующая задача 3.4.8 →