Концы пружины жёсткости \(k\) перемещают в продольном направлении по гармоническому закону \(x_1 = A_1\cos(\omega t+\varphi_1)\), \(x_2 = A_2\cos(\omega t+\varphi_2)\); средняя за период сила натяжения равна нулю. Как меняется эта сила со временем? Определите наибольшую и среднюю за большое время энергию пружины. При какой разности фаз средняя энергия наибольшая? наименьшая?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Сила.
\[ F = k(x_2-x_1) = k\left[A_2\cos(\omega t+\varphi_2) - A_1\cos(\omega t+\varphi_1)\right]. \]Это гармоническое колебание частоты \(\omega\) с амплитудой
\[ F_0 = k\sqrt{A_1^2+A_2^2-2A_1A_2\cos(\varphi_2-\varphi_1)} \]— сложение двух «векторов» длиной \(A_1\) и \(A_2\) с углом \(\varphi_2-\varphi_1\) между ними.
Энергия. Энергия пружины \(E = F^2/(2k)\), поэтому
\[ E_{\max} = \frac{F_0^2}{2k} = \frac k2\left[A_1^2+A_2^2-2A_1A_2\cos(\varphi_2-\varphi_1)\right]. \]Среднее от квадрата косинуса равно \(1/2\), значит средняя энергия вдвое меньше:
\[ E_{\text{ср}} = \frac k4\left[A_1^2+A_2^2-2A_1A_2\cos(\varphi_2-\varphi_1)\right]. \]Крайние случаи. Энергия наибольшая, когда концы движутся в противофазе:
\[ \varphi_2-\varphi_1 = \pi,\qquad E_{\text{ср}} = \frac k4(A_1+A_2)^2, \]и наименьшая при синфазном движении:
\[ \varphi_2-\varphi_1 = 0,\qquad E_{\text{ср}} = \frac k4(A_1-A_2)^2 . \]