Пусть концы пружины (см. задачу 3.4.12) перемещаются с разной частотой: \(x_1 = A\cos\omega_1 t\), \(x_2 = A\cos\omega_2 t\). Как меняется сила натяжения со временем? Постройте график для близких частот. Почему здесь можно говорить о биениях? Определите в случае неравных амплитуд и частот среднюю энергию за большое время.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Сворачиваем разность.
\[ F = k(x_2-x_1) = kA(\cos\omega_2 t-\cos\omega_1 t) = 2kA\,\sin\frac{\omega_2-\omega_1}{2}t\;\sin\frac{\omega_2+\omega_1}{2}t . \]Почему это биения. Если частоты близки, то второй множитель — быстрое колебание со средней частотой \((\omega_1+\omega_2)/2\), а первый меняется медленно и играет роль амплитуды. Она плавно нарастает от нуля до \(2kA\) и снова спадает до нуля; амплитуда обращается в нуль с периодом
\[ T_{\text{б}} = \frac{2\pi}{\omega_2-\omega_1} \]— это и называют биениями. Их слышно, если такие колебания превратить в звук: тон средней частоты, «пульсирующий» с разностной частотой.
Средняя энергия при разных амплитудах. Пусть \(x_1 = A_1\cos\omega_1t\), \(x_2 = A_2\cos\omega_2 t\). Тогда
\[ E = \frac{k(x_2-x_1)^2}{2} = \frac k2\left[A_2^2\cos^2\omega_2t - 2A_1A_2\cos\omega_1t\cos\omega_2t + A_1^2\cos^2\omega_1t\right]. \]Средние квадратов косинусов равны \(1/2\), а среднее произведения косинусов разных частот равно нулю:
\[ E_{\text{ср}} = \frac k4\left(A_1^2+A_2^2\right). \]