Задача 3.4.14средняя мощность силы
Условие
Частица под действием силы \(F = F_0\cos\omega t\) колеблется по закону \(x = A\cos(\omega t-\varphi)\). Какова средняя мощность этой силы?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Мощность — произведение силы на скорость. Из двух слагаемых, на которые распадается это
произведение, одно за период усредняется в нуль, а второе — нет. Именно оно и определяет
закачку энергии, и в него входит синус сдвига фаз.
Мощность. Скорость
\[ v = -A\omega\sin(\omega t-\varphi), \] \[ N = Fv = -F_0A\omega\cos\omega t\,\sin(\omega t-\varphi). \]Раскроем синус разности:
\[ \sin(\omega t-\varphi) = \sin\omega t\cos\varphi - \cos\omega t\sin\varphi, \] \[ N = -F_0A\omega\left[\cos\omega t\sin\omega t\cos\varphi - \cos^2\omega t\,\sin\varphi\right]. \]Усредняем. Среднее от \(\cos\omega t\sin\omega t\) равно нулю (это \(\frac12\sin2\omega t\)), среднее от \(\cos^2\omega t\) равно \(1/2\):
\[ \langle N\rangle = \frac12\,\omega F_0 A\sin\varphi . \]Проверка. Если сдвига фаз нет \((\varphi = 0)\), средняя
мощность равна нулю ✓ — сила то разгоняет, то тормозит, и в сумме ничего не передаёт.
Максимум при \(\varphi = \pi/2\) ✓ — сила идёт «в такт» со скоростью, а это и есть
резонанс. При \(\varphi < 0\) мощность отрицательна ✓ — теперь уже частица отдаёт
энергию источнику. В установившемся режиме вся эта мощность уходит на трение ✓, что и
определяет амплитуду вынужденных колебаний — тема следующего параграфа.
Ответ
\( \langle N\rangle = \dfrac12\,\omega F_0A\sin\varphi \).