а. Двум шарикам массы \(m\), которые связаны друг с другом и стенками тремя пружинами жёсткости \(k\), одновременно сообщили одинаковую по модулю скорость, направленную вдоль пружин. Найдите частоту колебаний шариков, если их скорости противоположно направлены. Одинаково направлены.
б. Свободные колебания сложных систем являются суммой (наложением) нескольких гармонических колебаний с разными частотами. Если первому шарику в задаче 3.4.15а сообщить вдоль пружины скорость \(v\), то последующее движение шариков будет суммой двух движений: движения шариков, которым сообщили скорость \(v/2\) и \(-v/2\), и движения шариков, которым сообщили скорость \(v/2\) и \(v/2\). Определите, пользуясь этим, скорость шариков в последующие за началом колебаний моменты времени. Чему равно максимальное смещение первого шарика? второго? максимальное удлинение средней пружины?
в. Решите задачу 3.4.15б в случае, если первому шарику сообщили скорость \(3v\), а второму скорость \(v\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
а. Частоты мод. Если скорости одинаково направлены, шарики движутся синхронно, средняя пружина не деформируется, и на каждый шарик действует только его стенная пружина:
\[ \omega_2 = \sqrt{\frac km}. \]Если скорости противоположны, шарики симметрично сходятся и расходятся; средняя пружина деформируется на \(2x\), поэтому на шарик действует \(kx + 2kx = 3kx\):
\[ \omega_1 = \sqrt{\frac{3k}{m}}. \]б. Толчок одному шарику. Разложим начальные скорости \((v,\ 0)\):
\[ (v,\ 0) = \underbrace{\left(\frac v2,\ \frac v2\right)}_{\text{синфазная,}\ \omega_2} + \underbrace{\left(\frac v2,\ -\frac v2\right)}_{\text{противофазная,}\ \omega_1}. \]Каждая мода дальше колеблется со своей частотой:
\[ v_1 = \frac v2\left(\cos\omega_2t+\cos\omega_1t\right),\qquad v_2 = \frac v2\left(\cos\omega_2t-\cos\omega_1t\right). \]Смещения получаются делением амплитуд скоростей на частоты:
\[ x_{1,\max} = x_{2,\max} = \frac v2\left(\frac1{\omega_1}+\frac1{\omega_2}\right). \]Средняя пружина деформируется только противофазной модой, причём вдвое сильнее смещения одного шарика:
\[ \Delta x_{\max} = 2\cdot\frac{v/2}{\omega_1} = \frac{v}{\omega_1}. \]в. Скорости \(3v\) и \(v\). Раскладываем так же:
\[ (3v,\ v) = (2v,\ 2v) + (v,\ -v), \]то есть синфазной моде досталась амплитуда \(2v\), противофазной — \(v\):
\[ v_1 = v\left(2\cos\omega_2t+\cos\omega_1t\right),\qquad v_2 = v\left(2\cos\omega_2t-\cos\omega_1t\right), \] \[ x_{1,\max} = x_{2,\max} = v\left(\frac{2}{\omega_2}+\frac{1}{\omega_1}\right), \qquad \Delta x_{\max} = \frac{2v}{\omega_1}. \]Опечатка в задачнике. В пункте в напечатано \(x_1 = x_2 = v(2/\omega_1+1/\omega_2)\) — индексы переставлены. Амплитуда \(2v\) приходится на синфазную моду с частотой \(\omega_2\), а \(v\) — на противофазную \(\omega_1\); это подтверждается и их же ответом \(\Delta x = 2v/\omega_1\), который получается именно из противофазной амплитуды \(v\).