Атому кислорода в молекуле углекислого газа сообщили небольшую скорость \(v\) в направлении к атому углерода. Определите, на сколько приблизится атом кислорода к атому углерода. Масса атома кислорода \(M\), атома углерода \(m\), жёсткость связи \(k\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Три моды.
Поступательная: все атомы движутся со скоростью \(v_0\), связи не деформируются.
Симметричная: углерод неподвижен, кислороды движутся навстречу со скоростями \(\pm v_1\); каждый кислород — просто груз на пружине,
\[ \omega_1 = \sqrt{\frac kM}. \]Антисимметричная: оба кислорода со скоростью \(v_2\), углерод со скоростью \(-2Mv_2/m\) (импульс равен нулю); связь деформируется от движения обоих концов,
\[ \omega_2 = \sqrt{k\left(\frac1M+\frac2m\right)} . \]Раскладываем толчок. Начальные скорости: левый кислород \(v\), остальные нули. Записывая по атомам,
\[ v_0+v_1+v_2 = v,\qquad v_0-v_1+v_2 = 0,\qquad v_0-\frac{2M}{m}v_2 = 0, \]откуда \(v_1 = v/2\) и
\[ v_2\left(1+\frac{2M}{m}\right) = \frac v2 . \]Сближение кислорода с углеродом. Поступательная мода вклада не даёт. Симметричная сближает их на \(v_1/\omega_1\). В антисимметричной кислород и углерод идут навстречу, их относительная скорость равна \(v_2(1+2M/m)\), то есть как раз \(v/2\), и вклад составляет
\[ \frac{v_2(1+2M/m)}{\omega_2} = \frac{v}{2\omega_2}. \]Складывая,
\[ \Delta x = \frac{v}{2}\left(\frac1{\omega_1}+\frac1{\omega_2}\right). \]