Савченко · Глава 3. Колебания и волны · § 3.4. Наложение колебаний

Савченко, задача 3.4.17

Задача 3.4.17★ двойной маятник

Условие

Собственные частоты двойного маятника равны \(\omega_1\) и \(\omega_2\). Длина нити, связывающей шарики, равна \(l\). В состоянии равновесия нижнему шарику сообщили небольшую скорость \(v\). Определите максимальное отклонение нижнего шарика и длину нити, связывающей верхний шарик с потолком.

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Идея Массы шариков не заданы — значит ответ обязан от них не зависеть. И правда: у характеристического уравнения двойного маятника отношение суммы корней к их произведению массы не содержит. Это и даёт длину верхней нити.

Верхняя нить длины \(L\), нижняя — \(l\); толчок сообщают нижнему шарику.

Уравнения малых колебаний. Пусть \(\theta_1,\theta_2\) — углы верхней и нижней нитей, \(m_1,m_2\) — массы шариков. Стандартные уравнения:

\[ (m_1+m_2)L\ddot\theta_1 + m_2 l\ddot\theta_2 + (m_1+m_2)g\theta_1 = 0, \] \[ L\ddot\theta_1 + l\ddot\theta_2 + g\theta_2 = 0 . \]

Подстановка \(\theta \propto e^{i\omega t}\) даёт характеристическое уравнение

\[ m_1 L l\,\omega^4 - (m_1+m_2)g(L+l)\,\omega^2 + (m_1+m_2)g^2 = 0 . \]

Убираем массы. По теореме Виета

\[ \omega_1^2+\omega_2^2 = \frac{(m_1+m_2)g(L+l)}{m_1Ll},\qquad \omega_1^2\omega_2^2 = \frac{(m_1+m_2)g^2}{m_1Ll}. \]

Разделив первое на второе, видим, что все массы сокращаются:

\[ \frac{\omega_1^2+\omega_2^2}{\omega_1^2\omega_2^2} = \frac{L+l}{g} \quad\Longrightarrow\quad L = \frac{g\left(\omega_1^2+\omega_2^2\right)}{(\omega_1\omega_2)^2} - l . \]

Максимальное отклонение нижнего шарика. Замечательный факт: в моде с частотой \(\omega_j\) смещение нижнего шарика равно \(x_2 = L\theta_1+l\theta_2\), и, подставив отношение \(\theta_1/\theta_2 = (g-l\omega_j^2)/(L\omega_j^2)\), получаем множитель

\[ L\frac{\theta_1}{\theta_2}+l = \frac{g}{\omega_j^2} \]

— длина \(L\) выпадает. Раскладывая начальные условия (обе координаты нулевые, скорость нижнего шарика \(v\)) по модам и складывая амплитуды, после упрощений получаем

\[ x_{\max} = \frac{v\left[l\left(\omega_1^2+\omega_1\omega_2+\omega_2^2\right)-g\right]} {l\,\omega_1\omega_2\left(\omega_1+\omega_2\right)} . \]

Проверка. Возьмём классический двойной маятник с равными массами и равными длинами \(L = l\). Тогда характеристическое уравнение даёт \(\omega^2 = (2\pm\sqrt2)\,g/l\), то есть \(\omega_1^2+\omega_2^2 = 4g/l\) и \((\omega_1\omega_2)^2 = 2g^2/l^2\). Наша формула для длины: \[ L+l = \frac{g\cdot 4g/l}{2g^2/l^2} = 2l \quad\Longrightarrow\quad L = l\ ✓ \]

— в точности исходные данные.
Об ответах задачника. Там напечатано \(L = g^2/\big(l(\omega_1\omega_2)^2\big)\). В той же проверке это даёт \(g^2 l^2/(l\cdot2g^2) = l/2\) вместо \(l\) ✗. Печатная формула верна лишь в пределе \(m_2 \ll m_1\), тогда как задача как раз про толчок нижнего шарика. По той же причине расходится и печатное выражение для \(x_{\max}\).

Ответ \( L = \dfrac{g(\omega_1^2+\omega_2^2)}{(\omega_1\omega_2)^2} - l \); \( x_{\max} = \dfrac{v\left[l(\omega_1^2+\omega_1\omega_2+\omega_2^2)-g\right]} {l\,\omega_1\omega_2(\omega_1+\omega_2)} \).

Следующая задача 3.4.18 →