Малые колебания маятников, связанных пружиной, происходят по закону
\(x_1 = B\cos(\omega_0t+\varphi)+A\cos\omega t\),
\(x_2 = B\cos(\omega_0t+\varphi)-A\cos\omega t\).
Определите жёсткость пружины. В положении равновесия маятники вертикальны, масса каждого
шарика \(m\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
В записанном законе движения уже видны обе моды: слагаемое с \(\omega_0\) входит в обе
координаты одинаково — это синфазная мода, где пружина не работает; слагаемое с
\(\omega\) входит с разными знаками — противофазная, где пружина работает вдвойне.
Синфазная мода пружину не деформирует, противофазная — деформирует на
удвоенное смещение каждого шарика.
Читаем моды. Слагаемое \(B\cos(\omega_0t+\varphi)\) одинаково у обоих
маятников — они идут вместе, пружина не деформируется, и это обычный маятник:
\[ \omega_0^2 = \frac gl . \]
Слагаемое \(\pm A\cos\omega t\) входит с разными знаками — маятники идут навстречу.
Пружина деформируется на \(2x\), значит к возвращающей силе тяжести добавляется
\(2kx\):
\[ k = \frac{m\left(\omega^2-\omega_0^2\right)}{2}. \]
Проверка. Всегда \(\omega > \omega_0\) ✓ — противофазная
мода жёстче, как и в задаче 3.4.15. При \(k\to0\) частоты сравниваются
✓ и маятники становятся независимыми. Двойка в формуле — от того, что пружину растягивают
оба шарика ✓. Если сообщить толчок одному маятнику, получатся биения: энергия
будет перекачиваться от одного к другому с частотой \(\omega-\omega_0\) ✓ — классическая
демонстрация связанных маятников.
Ответ
\( k = \dfrac{m\left(\omega^2-\omega_0^2\right)}{2} \).