Савченко · Глава 3. Колебания и волны · § 3.4. Наложение колебаний

Савченко, задача 3.4.19

Задача 3.4.19амплитуды и частоты по графику

Условие

На рисунке изображён график зависимости координаты от времени для движения, являющегося суммой двух гармонических колебаний. Определите по нему амплитуды и частоты этих колебаний.

К задаче 3.4.19 (рисунок из условия, перерисован)

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Идея Перед нами биения. Огибающая колеблется между \(A\) и \(B\) — а это в точности сумма и разность амплитуд. Период быстрых колебаний \(\tau\) даёт среднюю частоту, период огибающей \(T\) — разность частот.

Огибающая колеблется между \(A\) и \(B\) с периодом \(T\); быстрые колебания идут с периодом \(\tau\).

Амплитуды. Пусть \(x = A_1\cos\omega_1t + A_2\cos\omega_2t\). Когда слагаемые в фазе, размах максимален и равен \(A_1+A_2\); когда в противофазе — минимален и равен \(|A_1-A_2|\). По графику это \(A\) и \(B\):

\[ A_1+A_2 = A,\qquad A_1-A_2 = B \quad\Longrightarrow\quad A_{1,2} = \frac{A\pm B}{2}. \]

Частоты. Быстрые колебания идут со средней частотой, а огибающая — с полуразностной. Период быстрых колебаний \(\tau\), период огибающей \(T\):

\[ \frac{\omega_1+\omega_2}{2} = \frac{2\pi}{\tau},\qquad \omega_1-\omega_2 = \frac{2\pi}{T}, \] \[ \omega_{1,2} = \frac{2\pi}{\tau} \pm \frac{\pi}{T}. \]

Проверка. Обе частоты близки, а их разность мала — иначе биений не было бы видно ✓. При \(B = 0\) амплитуды равны и огибающая касается нуля ✓ — классические биения с полным «замиранием». Формулы устроены зеркально: амплитуды — полусумма и полуразность \(A\) и \(B\), частоты — сумма и разность обратных времён ✓. Проверка размерности: \(2\pi/\tau\) и \(\pi/T\) — обе с\(^{-1}\) ✓. Именно так по осциллограмме восстанавливают спектр из двух линий ✓.

Ответ \( A_{1,2} = \dfrac{A\pm B}{2} \), \( \omega_{1,2} = \dfrac{2\pi}{\tau}\pm\dfrac{\pi}{T} \).

Следующая задача 3.5.1 →