Маятник массы \(m\) подвергается кратковременным ударам, за каждый из которых ему передаётся импульс \(p_0\). Постройте график движения маятника, если известно, что вначале он покоился, что затухания колебаний нет, а удары следуют друг за другом через промежутки времени \(T_0\) и \(T_0/2\) (\(T_0\) — период свободных колебаний маятника).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Что делает один удар. Первый удар застаёт маятник в покое в положении равновесия. После него скорость равна \(u = p_0/m\), и маятник начинает свободно колебаться с амплитудой
\[ A_1 = \frac{u}{\omega} = \frac{p_0}{m\omega},\qquad \omega = \frac{2\pi}{T_0}, \]по закону \(x = A_1\sin\omega t\).
Удары через \(T_0\). Ровно через период маятник снова в положении равновесия и снова летит в ту же сторону с той же скоростью \(u\). Второй удар добавляет ещё \(u\): скорость становится \(2u\), амплитуда \(2A_1\). Через ещё период — \(3u\) и \(3A_1\), и так далее:
\[ A_n = n\,\frac{p_0}{m\omega}. \]Амплитуда растёт линейно, ступеньками одинаковой высоты. Это и есть резонанс: маленькие толчки, попадающие в такт, накапливаются.
Удары через \(T_0/2\). Через полпериода маятник тоже в положении равновесия, но летит назад со скоростью \(-u\). Удар направлен по-прежнему в одну и ту же сторону и добавляет \(+u\):
\[ -u + u = 0. \]Маятник останавливается — причём в положении равновесия, где на него ничего не действует. Значит следующие полпериода он просто стоит. Затем очередной удар снова разгоняет его до \(u\), он делает такой же «горб», снова гасится и снова стоит. Движение периодическое, амплитуда не растёт вовсе.