Гармоническому колебанию тела массы \(m\) можно сопоставить движение точки по окружности, радиус которой совпадает с амплитудой колебаний \(A\), а угловая скорость — с частотой \(\omega\). Координата \(x\) этой точки совпадает с координатой тела, а координата \(y\), умноженная на \(m\omega\), — с импульсом тела \(p\). Кривые, описывающие движение тела в переменных \(p,\,x\), называются фазовым портретом. Постройте фазовый портрет для маятника задачи 3.5.1.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Почему окружность. Пусть \(x = A\sin\omega t\). Тогда \(p = mv = m\omega A\cos\omega t\), и
\[ \left(\frac{x}{A}\right)^{2} + \left(\frac{p}{m\omega A}\right)^{2} = 1. \]Если по вертикали откладывать \(p\) в масштабе, где единице длины по \(x\) отвечает \(m\omega\) единиц по \(p\), это уравнение окружности радиуса \(A\). Обход идёт по часовой стрелке: из верхней точки \((0,\,m\omega A)\) — максимум скорости — тело едет вправо, к правой точке \((A,\,0)\) — крайнее положение.
Удары через \(T_0\). Старт — начало координат (покой). Удар: скачок вверх на \(p_0\). Ровно за период точка обходит окружность и возвращается туда же, откуда стартовала. Новый удар поднимает её ещё на \(p_0\) — и так далее. Портрет: семейство вложенных окружностей радиусов \(p_0,\,2p_0,\,3p_0,\dots\), сшитых вертикальными скачками на положительной полуоси \(p\).
Удары через \(T_0/2\). За полпериода точка проходит полокружности: из \((0,\,p_0)\) через правую точку в \((0,\,-p_0)\). Удар поднимает её на \(p_0\) — прямо в начало координат. Там она стоит (это точка покоя) до следующего удара, который снова поднимает её в \((0,\,p_0)\). Портрет — одна-единственная правая полуокружность плюс отрезок оси \(p\), проходимые снова и снова.