В условиях задачи 3.5.1 маятник имел в нулевой момент скорость \(v_0\) и координату \(x_0\). Какой будет амплитуда колебаний после \(n\) ударов, если первый из них произошёл в нулевой момент? Постройте фазовый портрет.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Удары через \(T_0\). Первый удар в момент \(t=0\) переводит точку из \((x_0,\;v_0/\omega)\) в \((x_0,\;v_0/\omega + \delta)\). Дальше за целый период точка возвращается ровно сюда же, и второй удар поднимает её ещё на \(\delta\). После \(n\) ударов
\[ \Bigl(x_0,\;\frac{v_0}{\omega} + n\frac{p}{m\omega}\Bigr), \qquad A_n = \sqrt{\Bigl(\frac{v_0}{\omega} + \frac{np}{m\omega}\Bigr)^{2} + x_0^{2}}. \]Все точки лежат на одной вертикали \(x = x_0\), а окружности вложены друг в друга.
Удары через \(T_0/2\). Проследим по шагам. После первого удара точка в \((x_0,\;w_0+\delta)\), где \(w_0 = v_0/\omega\). Полпериода — переход в противоположную точку \((-x_0,\;-w_0-\delta)\). Второй удар поднимает на \(\delta\):
\[ (-x_0,\;-w_0-\delta+\delta) = (-x_0,\;-w_0), \]то есть точка вернулась на исходную окружность! Ещё полпериода — она в \((x_0,\;w_0)\), то есть точно в начальном состоянии, и всё повторяется. Радиус перескакивает между двумя значениями:
\[ A_n = \sqrt{\Bigl(\frac{v_0}{\omega} + \frac{p}{m\omega}\Bigr)^{2} + x_0^{2}} \;\;(n \text{ нечётно}),\qquad A_n = \sqrt{\frac{v_0^{2}}{\omega^{2}} + x_0^{2}} \;\;(n \text{ чётно}). \]