Ваша приятельница сидит на качелях. Вы раскачиваете их кратковременными толчками. Как это нужно делать, чтобы раскачивание проходило наиболее успешно?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Откуда \(\Delta E = pv + p^2/2m\). Скорость меняется с \(v\) на \(v + p/m\), поэтому
\[ \Delta E = \frac{m(v+p/m)^{2}}{2} - \frac{mv^{2}}{2} = pv + \frac{p^{2}}{2m}. \]Второе слагаемое от нас не зависит — оно маленькое и всегда положительное. Всё решает первое.
Где толкать. Скорость качелей максимальна в нижней точке. Там и надо толкать — строго вперёд, по ходу движения. В крайних точках \(v=0\), и толчок даёт лишь жалкое \(p^{2}/(2m)\).
Как часто. Если толкать в нижней точке каждый раз, когда качели идут в одну и ту же сторону, — получится один толчок за период \(T_0\). Можно и вдвое чаще: толкать в нижней точке при каждом проходе, но тогда толчок надо всякий раз направлять по скорости, то есть менять направление — так и делают, когда качели раскачивают, подталкивая то от себя, то к себе.
Самое главное — попадать в такт: период толчков должен быть \(T_0\) (или \(T_0/2\) при смене направления). Промахнёшься с ритмом — и часть толчков будет, как в задаче 3.5.1, гасить колебания вместо того, чтобы их усиливать.