Через ручей переброшена длинная упругая доска. Когда мальчик стоит на ней неподвижно, она прогибается на 0,1 м. Когда же он идёт со скоростью 3,6 км/ч, то доска начинает так раскачиваться, что он падает в воду. Какова длина шага мальчика?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Частота доски. В покое сила тяжести уравновешена упругой силой доски:
\[ mg = k\Delta \quad\Longrightarrow\quad \frac{k}{m} = \frac{g}{\Delta}. \]Значит доска с мальчиком — маятник с частотой
\[ \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{g}{\Delta}}. \]Это в точности формула математического маятника длины \(\Delta\) — удобно запомнить: прогиб играет роль длины маятника.
Резонанс. Каждый шаг — толчок по доске. Толчки идут с периодом \(T\), за который мальчик проходит один шаг длины \(l\):
\[ T = \frac{l}{v}. \]Раскачка максимальна, когда \(T\) совпадает с периодом свободных колебаний \(T_0 = 2\pi/\omega_0\):
\[ \frac{l}{v} = 2\pi\sqrt{\frac{\Delta}{g}} \quad\Longrightarrow\quad l = 2\pi v\sqrt{\frac{\Delta}{g}}. \]Числа. \(v = 3{,}6\;\text{км/ч} = 1\;\text{м/с}\), \(\Delta = 0{,}1\) м:
\[ \omega_0 = \sqrt{\frac{9{,}8}{0{,}1}} \approx 9{,}9\;\text{с}^{-1},\qquad T_0 = \frac{2\pi}{9{,}9} \approx 0{,}63\;\text{с}, \] \[ l = 1 \cdot 0{,}63 \approx 0{,}63\;\text{м} \approx 63\;\text{см}. \]