Пусть кинетическая энергия осциллятора \(K = mv^{2}/2\), а потенциальная \(U = kx^{2}/2\). Покажите, что наличие «потерь» мощности \(N_{\text{п}} = bv^{2}\) осциллятора эквивалентно наличию добавочной силы \(f = -bv\), действующей на него.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Баланс энергии. По условию
\[ \frac{d}{dt}\left(\frac{kx^{2}}{2} + \frac{mv^{2}}{2}\right) = -bv^{2}. \]Раскрываем. Производная \(x^2\) равна \(2x\dot x = 2xv\), производная \(v^2\) равна \(2v\dot v = 2va\), поэтому левая часть равна \(kxv + mva\):
\[ kxv + mva = -bv^{2}. \]Сокращаем на \(v\) (в те моменты, когда \(v \ne 0\); по непрерывности равенство верно всегда):
\[ kx + ma = -bv \quad\Longrightarrow\quad ma = -kx - bv. \]Справа — сумма упругой силы \(-kx\) и добавочной силы \(f = -bv\). Обратный ход рассуждения тоже верен: если такая сила есть, то, умножив уравнение на \(v\), получим убыль энергии со скоростью \(bv^2\). Значит два описания — «есть потери мощности \(bv^2\)» и «есть сила \(-bv\)» — эквивалентны.