Савченко · Глава 3. Колебания и волны · § 3.5. Вынужденные и затухающие колебания

Савченко, задача 3.5.11

Задача 3.5.11толчки при наличии трения

Условие

Качественно опишите движение вначале покоившегося осциллятора под влиянием одиночного толчка и серии одинаковых толчков, следующих друг за другом через период, и постройте фазовый портрет этого осциллятора, если сила сопротивления движению пропорциональна его скорости.

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Идея Без трения фазовая точка ходила по окружности (задача 3.5.2). Трение заставляет радиус медленно убывать, и окружность превращается в спираль. Удары по-прежнему дают вертикальные скачки. Вся картина — соревнование между сматывающей спиралью и подбрасывающими её скачками.

Одиночный толчок. Осциллятор получает скорость \(p/m\) и начинает колебаться. Каждый период амплитуда умножается на один и тот же множитель, меньший единицы, — колебания затухают. На фазовом портрете точка сматывается по спирали к началу координат (рис. а). Она никогда не достигает его за конечное время, но подходит сколь угодно близко.

Серия толчков через период. Здесь спорят два эффекта. За период удар добавляет энергию

\[ \Delta E_{+} \approx pv \propto A, \]

а трение уносит (задача 3.5.9)

\[ \Delta E_{-} \approx b\overline{v^{2}}\,T = \pi b\omega A^{2} \propto A^{2}. \]

Пока амплитуда мала, прибавка больше потерь — колебания раскачиваются. Но потери растут быстрее, и при некоторой амплитуде наступает равенство. Дальше размах не растёт: устанавливается стационарный режим.

На фазовом портрете (рис. б) это выглядит так: точка стартует из начала координат, каждый удар подбрасывает её вверх на \(p\), между ударами она сматывается по спирали — и витки постепенно прижимаются к одной предельной окружности. Её радиус и есть установившаяся амплитуда:

\[ A_{\text{уст}} = \frac{p}{\pi b} \]

(вычислена в задаче 3.5.8; точная формула для скорости — в задаче 3.5.22).

а — после одиночного толчка фазовая точка сматывается по спирали к началу координат: колебания затухают. б — при ударах через период (бирюзовые стрелки) спираль сначала раскручивается, а затем ложится на жёлтую предельную окружность: прирост энергии за период сравнялся с потерями.

Проверка. При \(b\to0\) предельная окружность уходит на бесконечность, и мы возвращаемся к неограниченной раскачке задачи 3.5.1 ✓. Витки в начале почти такие же, как без трения, — потери за один период малы при слабом затухании ✓. Установившийся режим не зависит от того, откуда стартовали: если начать с большой амплитуды, спираль будет сматываться к той же окружности снаружи ✓ — это типичное поведение системы с притягивающим предельным циклом.

Ответ После одиночного толчка — затухающие колебания, фазовая спираль сматывается к началу координат. При периодических толчках — сначала раскачка, затем установление: спираль ложится на предельную окружность радиуса \(A_{\text{уст}} = p/(\pi b)\), когда прирост энергии \(\sim pv\) сравнивается с потерями \(\sim bv^{2}T\).

Следующая задача 3.5.12 →