Колебательную систему при наличии сопротивления называют осциллятором с затуханием, а его колебания в отсутствие силы, их поддерживающей, — затухающими. Покажите, что уравнения движения двух осцилляторов, сила сопротивления движению которых \(f_1 = -b_1v_1\), \(f_2 = -b_2v_2\), при \(k_1/m_1 = k_2/m_2 = \omega_0^{2}\) и \(b_1/m_1 = b_2/m_2 = 2\gamma\) имеют одинаковое решение при одинаковых начальных координатах и скоростях.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Уравнение. Для каждого осциллятора (задача 3.5.10)
\[ m_i a_i = -k_i x_i - b_i v_i. \]Делим на \(m_i\):
\[ a_i = -\frac{k_i}{m_i}\,x_i - \frac{b_i}{m_i}\,v_i = -\omega_0^{2}x_i - 2\gamma v_i. \]Правая часть выражена только через \(\omega_0\) и \(\gamma\), а они у обоих осцилляторов одинаковы. Значит оба движения подчиняются одному и тому же закону
\[ a = -\omega_0^{2}x - 2\gamma v. \]Почему решение одно. Уравнение говорит, чему равно ускорение, если известны координата и скорость. Стартуя из одинаковых \(x(0)\) и \(v(0)\), оба осциллятора получают одинаковое ускорение, значит через малое время \(\Delta t\) у них снова одинаковые \(x\) и \(v\), — и так шаг за шагом. Движения совпадают во все моменты времени.
Практический вывод: осциллятор полностью характеризуется парой чисел \(\omega_0\) и \(\gamma\). Тяжёлый маятник и лёгкая пружинка, стрелка гальванометра и колебательный контур — если у них совпали \(\omega_0\) и \(\gamma\), они колеблются одинаково.