Савченко · Глава 3. Колебания и волны · § 3.5. Вынужденные и затухающие колебания

Савченко, задача 3.5.13

Задача 3.5.13масштабируемость решения

Условие

Покажите, что если затухающие колебания осциллятора происходят по закону \(x_1 = x_1(t)\) и \(v_1 = v_1(t)\), то колебания такого же осциллятора с начальными условиями \(x_2(0) = nx_1(0)\), \(v_2(0) = nv_1(0)\) происходят по закону \(x_2 = nx_1(t)\), \(v_2 = nv_1(t)\).

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Идея Уравнение \(a = -\omega_0^2 x - 2\gamma v\) линейно: все его члены содержат \(x,\,v,\,a\) в первой степени. Значит если умножить решение на число, оно останется решением.

Проверка подстановкой. Пусть \(x_2(t) = n\,x_1(t)\). Тогда \(v_2 = n v_1\) и \(a_2 = n a_1\) (производная умножается на ту же константу). Подставим в уравнение:

\[ a_2 = n a_1 = n\bigl(-\omega_0^{2}x_1 - 2\gamma v_1\bigr) = -\omega_0^{2}(nx_1) - 2\gamma(nv_1) = -\omega_0^{2}x_2 - 2\gamma v_2. \]

Уравнение выполнено. Начальные условия тоже: \(x_2(0) = nx_1(0)\), \(v_2(0) = nv_1(0)\) — ровно то, что требовалось. А решение с заданными начальными условиями единственно (задача 3.5.12), значит найденное — то самое.

Что это значит. Форма затухающего колебания не зависит от того, насколько сильно осциллятор раскачали: графики \(x_1(t)\) и \(x_2(t)\) отличаются только масштабом по вертикали. Все «времена» — период, время затухания, моменты прохождения равновесия — одни и те же. Именно поэтому вообще можно говорить о «периоде затухающих колебаний» и о «коэффициенте затухания», не указывая амплитуду.

Проверка. При \(n=-1\) получаем зеркальное движение ✓ — оно и должно быть решением, ведь система симметрична. При \(n=0\) — покой ✓. Свойство держится только на линейности: у маятника при больших углах (там \(a = -\omega_0^2\sin\varphi\)) период уже зависит от амплитуды, и масштабирование ломается ✓. Заметим, что то же рассуждение работает и для суммы решений — на этом построен весь § 3.5 ✓.

Ответ Уравнение \(a = -\omega_0^{2}x - 2\gamma v\) линейно, поэтому \(nx_1(t)\) — тоже его решение, причём с нужными начальными условиями; в силу единственности оно и реализуется.

Следующая задача 3.5.14 →