Затухание осциллятора может быть столь велико, что движение его перестанет носить колебательный характер. Оцените по порядку величины, при каком соотношении величин \(\gamma\) и \(\omega_0\) это произойдёт (см. задачу 3.5.12).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Оценка по уравнению. В колебательном режиме за время порядка \(1/\omega_0\) тело проходит расстояние порядка амплитуды \(A\), то есть \(v \sim \omega_0 A\). Тогда
\[ \text{возврат:}\;\; \omega_0^{2}A, \qquad \text{торможение:}\;\; 2\gamma v \sim 2\gamma\omega_0 A. \]Отношение торможения к возврату равно \(2\gamma/\omega_0\). Колебательный характер теряется, когда оно становится порядка единицы:
\[ \boxed{\;\gamma \sim \omega_0\;} \qquad\text{то есть}\qquad \frac{\gamma}{\omega_0}\approx 1. \]Оценка «по временам». То же самое на языке времён: колебание требует времени \(\sim 1/\omega_0\) (полпериода), а затухание успевает «съесть» движение за время \(\sim 1/\gamma\). Если \(1/\gamma \lesssim 1/\omega_0\), тело останавливается раньше, чем успевает перейти на другую сторону, — колебаний не будет.
Точный результат (для сравнения; формула из задачи 3.5.18): частота затухающих колебаний равна
\[ \omega = \sqrt{\omega_0^{2}-\gamma^{2}}, \]и она обращается в нуль ровно при \(\gamma = \omega_0\) — это и есть граница (критическое затухание). Наша грубая оценка попала в точку.