Пусть затухание достаточно слабое, так что осциллятор, выйдя из начального равновесного положения со скоростью \(v\), через время \(T\) снова проходит положение равновесия со скоростью \(v/n\), \(n>1\). Что можно сказать про скорость осциллятора через время \(2T\), \(3T\)?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Рассуждение. В момент \(t=T\) осциллятор снова в положении равновесия и движется в ту же сторону, что и в момент \(t=0\), со скоростью \(v/n\). Это ровно то же начальное условие, что и вначале, только умноженное на \(1/n\). По задаче 3.5.13 всё дальнейшее движение будет точной копией прежнего, уменьшенной в \(n\) раз. В частности, ещё через период скорость снова уменьшится в \(n\) раз:
\[ v(2T) = \frac{1}{n}\cdot\frac{v}{n} = \frac{v}{n^{2}},\qquad v(3T) = \frac{v}{n^{3}},\qquad\dots\qquad v(kT) = \frac{v}{n^{k}}. \]Скорости в равноотстоящие моменты образуют геометрическую прогрессию. Это и есть главное свойство затухания: за равные времена величина уменьшается в равное число раз — то есть убывает по экспоненте. Отношение \(n\) называют декрементом затухания, а \(\ln n = \gamma T\) — логарифмическим декрементом.