Амплитуда затухающих колебаний осциллятора за время \(\tau\) уменьшилась вдвое. Как за это время изменилась механическая энергия осциллятора? За какое время его энергия уменьшилась вдвое?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Энергия за время \(\tau\). Так как \(E = kA^{2}/2\),
\[ \frac{E(\tau)}{E(0)} = \left(\frac{A(\tau)}{A(0)}\right)^{2} = \left(\frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{1}{4}. \]Энергия уменьшилась вчетверо.
Когда энергия упадёт вдвое. Для этого амплитуда должна уменьшиться в \(\sqrt2\) раз. Но за время \(\tau\) она уменьшается в 2 раза, а за половину этого времени — в \(\sqrt2\) раз: ведь два одинаковых промежутка \(\tau/2\) дают в произведении множитель 2, значит каждый даёт \(\sqrt2\). Итак искомое время
\[ t_{1/2}^{(E)} = \frac{\tau}{2}. \]То же через \(\gamma\). Амплитуда \(A \propto e^{-\gamma t}\), энергия \(E \propto e^{-2\gamma t}\) — энергия убывает вдвое быстрее (в показателе). Из \(e^{-\gamma\tau} = 1/2\) следует \(\gamma\tau = \ln 2\), а энергия падает вдвое при \(2\gamma t = \ln 2\), то есть при \(t = \tau/2\) ✓.