Если в момент \(t=0\) осциллятор, колеблющийся с затуханием, находится в положении равновесия и его скорость равна \(v_0\), то координата его в момент времени \(t \ne 0\) определяется формулой
\[ x = \frac{v_0}{\omega}\,e^{-\gamma t}\sin\omega t, \qquad \omega = \sqrt{\omega_0^{2}-\gamma^{2}},\quad \gamma < \omega_0 = \sqrt{k/m}. \]Покажите, что свойства осциллятора, описанные в задачах 3.5.12 и 3.5.15, не противоречат этому утверждению.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Свойство из задачи 3.5.12. В формуле стоят \(\gamma\) и \(\omega = \sqrt{\omega_0^2-\gamma^2}\) — обе величины определяются только парой \((\omega_0,\;\gamma)\). Масса, жёсткость и коэффициент сопротивления по отдельности не входят. Значит два осциллятора с совпадающими \(\omega_0\) и \(\gamma\) действительно движутся одинаково ✓. И множитель \(v_0\) стоит впереди — умножьте начальную скорость на \(n\), и всё движение умножится на \(n\): это свойство из задачи 3.5.13 ✓.
Свойство из задачи 3.5.15. Положение равновесия — это \(x=0\), то есть \(\sin\omega t = 0\), то есть моменты
\[ t_k = k\,\frac{\pi}{\omega} = k\,\frac{T}{2},\qquad T = \frac{2\pi}{\omega}. \]Найдём скорость в такой момент, не прибегая к производной. Вблизи \(t_k\) множитель \(e^{-\gamma t}\) почти не меняется (затухание слабое), а синус проходит через нуль почти по прямой:
\[ \sin\omega t \approx \pm\,\omega\,(t-t_k). \]Значит рядом с \(t_k\)
\[ x \approx \pm\,v_0\,e^{-\gamma t_k}\,(t-t_k), \]то есть координата меняется равномерно со скоростью
\[ |v(t_k)| = v_0\,e^{-\gamma t_k}. \]Через целый период \(T\) множитель умножается на \(e^{-\gamma T}\) — одно и то же число. Обозначив \(n = e^{\gamma T}\), получаем в точности задачу 3.5.15:
\[ v(T) = \frac{v_0}{n},\quad v(2T)=\frac{v_0}{n^{2}},\quad v(3T)=\frac{v_0}{n^{3}}. \;✓ \]