По виду зависимости \(x\) от \(t\) для затухающих колебаний, полученному на экране осциллографа, определите величину \(\gamma\) и \(\omega\). Почему при \(\gamma \ll \omega_0\) можно считать, что \(\omega \approx \omega_0\)?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Частота. На отмеченном интервале \(t_1 = 10^{-2}\) с укладывается ровно 5 полных колебаний, значит
\[ T = \frac{10^{-2}}{5} = 2\cdot10^{-3}\;\text{с},\qquad \omega = \frac{2\pi}{T} = \pi\cdot10^{3}\;\text{с}^{-1} \approx 3{,}1\cdot10^{3}\;\text{с}^{-1}. \]Коэффициент затухания. Амплитуда убывает как \(A_0e^{-\gamma t}\). По графику за тот же интервал \(t_1\) огибающая упала примерно в \(e\) раз (с \(A_0\) до \(A_0/e \approx 0{,}37A_0\)). Значит \(\gamma t_1 = 1\) и
\[ \gamma = \frac{1}{t_1} = 10^{2}\;\text{с}^{-1}. \]Почему \(\omega\approx\omega_0\). Из \(\omega = \sqrt{\omega_0^2-\gamma^2}\)
\[ \omega = \omega_0\sqrt{1-\left(\frac{\gamma}{\omega_0}\right)^{2}} \approx \omega_0\left(1-\frac{1}{2}\frac{\gamma^{2}}{\omega_0^{2}}\right). \]Поправка квадратична по малой величине \(\gamma/\omega_0\). Здесь \(\gamma/\omega_0 \approx 100/3100 \approx 0{,}03\), поэтому относительная разница между \(\omega\) и \(\omega_0\) — около \(5\cdot10^{-4}\), то есть сотые доли процента: на графике такую разницу не увидеть.