а. Два следующих друг за другом наибольших отклонения в одну сторону секундного маятника отличаются друг от друга на 1 %. Каков коэффициент затухания этого маятника?
б. Шарик этого маятника заменили шариком того же радиуса, но с массой в четыре раза большей. Как это скажется на затухании колебаний?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
а. За период амплитуда убывает на 1 %:
\[ e^{-\gamma T} = 0{,}99. \]Так как \(\gamma T\) мало, \(e^{-\gamma T}\approx 1-\gamma T\), откуда \(\gamma T \approx 0{,}01\) и
\[ \gamma \approx \frac{0{,}01}{T} = \frac{0{,}01}{2\;\text{с}} = 5\cdot10^{-3}\;\text{с}^{-1} \sim 10^{-2}\;\text{с}^{-1}. \]Время затухания \(1/\gamma \approx 200\) с — маятник «звенит» больше трёх минут.
б. Сила сопротивления воздуха зависит от размера и скорости, а не от массы: у шарика того же радиуса при той же скорости она та же самая. Значит коэффициент \(b\) не изменился. А
\[ \gamma = \frac{b}{2m} \](задача 3.5.12), поэтому при \(m \to 4m\)
\[ \gamma' = \frac{\gamma}{4}. \]Затухание ослабнет вчетверо, время затухания вырастет вчетверо, добротность вырастет вчетверо. Период при этом не изменится — у математического маятника он от массы не зависит.