а. Добротностью осциллятора называют отношение его начальной энергии к энергии, потерянной им за время изменения фазы на 1 рад. Выразите добротность через коэффициент затухания \(\gamma\) и частоту свободных колебаний \(\omega_0\) (\(\gamma\ll\omega_0\)). Как связана добротность \(Q\) с числом колебаний, за которое энергия осциллятора уменьшится в \(e\) раз?
б. У монокристалла сапфира в вакууме при низкой температуре и соответствующей подвеске добротность \(Q = 10^{8}-10^{9}\). Частота колебаний монокристалла \(\omega_0 = 10^{4}\) с\(^{-1}\). Оцените, во сколько раз изменится амплитуда колебаний кристалла за сутки.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
а. Формула добротности. Фаза растёт как \(\omega_0 t\), поэтому изменение на 1 рад занимает \(\Delta t = 1/\omega_0\). Потеря энергии за это время
\[ \Delta E = 2\gamma E\,\Delta t = \frac{2\gamma}{\omega_0}\,E, \]откуда
\[ Q = \frac{E}{\Delta E} = \frac{\omega_0}{2\gamma}. \]Связь с числом колебаний. Энергия падает в \(e\) раз при \(2\gamma t = 1\), то есть за время \(t_e = 1/(2\gamma)\). Число колебаний за это время
\[ n = \frac{t_e}{T} = \frac{1}{2\gamma}\cdot\frac{\omega_0}{2\pi} = \frac{Q}{2\pi}. \]Красивая формулировка: добротность — это \(2\pi\) умножить на число колебаний, за которое энергия падает в \(e\) раз.
б. Сапфировый кристалл. Из \(Q = \omega_0/(2\gamma)\)
\[ \gamma = \frac{\omega_0}{2Q}, \qquad \frac{A_0}{A(t)} = e^{\gamma t} = \exp\!\left(\frac{\omega_0 t}{2Q}\right). \]Сутки — это \(t = 86400 \approx 8{,}6\cdot10^{4}\) с. Показатель:
\[ \frac{\omega_0 t}{2Q} = \frac{10^{4}\cdot8{,}6\cdot10^{4}}{2Q} = \frac{4{,}3\cdot10^{8}}{Q}. \]При \(Q = 10^{8}\) показатель равен \(4{,}3\), и амплитуда падает в \(e^{4,3}\approx 70\) раз (в задачнике эта грубая оценка округлена до «примерно в 50 раз»). При \(Q = 10^{9}\) показатель \(0{,}43\), и амплитуда падает всего в \(e^{0,43}\approx 1{,}5\) раза — кристалл звенит сутками.