Каждый раз, когда осциллятор проходит в одном и том же направлении положение равновесия, ему в направлении скорости сообщается ударом дополнительный импульс \(p\). Каким будет движение осциллятора и какая установится максимальная скорость? Характеристики осциллятора известны. Рассмотрите два предельных случая: \(2\pi\gamma/\omega \gg 1\) и \(2\pi\gamma/\omega \ll 1\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Уравнение установления. Пусть \(v\) — максимальная скорость сразу после удара. Через период она станет \(ve^{-\gamma T}\), затем очередной удар добавит \(p/m\), и в установившемся режиме мы должны вернуться к тому же \(v\):
\[ v = v\,e^{-\gamma T} + \frac{p}{m} \quad\Longrightarrow\quad v_{\text{макс}} = \frac{p}{m}\cdot\frac{1}{1-e^{-\gamma T}}. \]Так как \(T = 2\pi/\omega\), окончательно
\[ v_{\text{макс}} = \frac{p}{m}\cdot \frac{1}{1-\exp\!\bigl(-2\pi\gamma/\omega\bigr)}. \]Как выглядит движение. Начав из покоя, осциллятор раскачивается: после первого удара \(v_1 = p/m\), после второго \(v_2 = v_1e^{-\gamma T}+p/m\) и так далее — геометрическая прогрессия, сходящаяся к \(v_{\text{макс}}\). На фазовом портрете это та самая спираль, ложащаяся на предельную окружность (рис. б к задаче 3.5.11).
Сильное затухание, \(2\pi\gamma/\omega \gg 1\). Экспонента ничтожна, и
\[ v_{\text{макс}} \approx \frac{p}{m}. \]Понятно: осциллятор успевает полностью «забыть» предыдущий удар, каждый удар работает в одиночку.
Слабое затухание, \(2\pi\gamma/\omega \ll 1\). Тогда \(1-e^{-x}\approx x\) при \(x = 2\pi\gamma/\omega\), и
\[ v_{\text{макс}} \approx \frac{p}{m}\cdot\frac{\omega}{2\pi\gamma} = \frac{p\,\omega}{2\pi\gamma m}. \]Удары накапливаются: скорость в \(\omega/(2\pi\gamma) = Q/\pi\) раз больше той, что даёт один удар. Это и есть резонансное усиление.