В системах, изображённых на рисунке, происходят свободные колебания без трения. Покажите, что сила, действующая на выделенный штриховой линией осциллятор, имеет гармонический характер.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Случай а: тело между двумя пружинами. Внутри рамки — левая пружина жёсткости \(k\) и тело \(m\); снаружи осталась правая пружина \(k'\). Вся система колеблется с частотой
\[ \omega = \sqrt{\frac{k+k'}{m}}, \qquad x = A\cos\omega t. \]Правая пружина действует на тело с силой
\[ F = -k'x = -k'A\cos\omega t = F_0\cos\omega t,\qquad F_0 = -k'A. \]Это гармоническая сила частоты \(\omega\) ✓.
Случай б: тело \(m\) жёстко связано с телом \(M\). Внутри рамки — пружина \(k\) и тело \(m\). Тело \(M\) движется вместе с \(m\), и на него не действует ничего, кроме силы со стороны \(m\). По третьему закону сила, с которой \(M\) действует на \(m\), равна
\[ F = -Ma = M\omega^{2}x = M\omega^{2}A\cos\omega t, \qquad \omega = \sqrt{\frac{k}{m+M}}. \]Снова гармоническая сила ✓.
Случай в: два маятника, связанных пружиной. Внутри рамки — левый маятник. Пружина действует на него с силой
\[ F = k\,(x_2-x_1). \]В любом из двух главных колебаний (синфазном с частотой \(\omega_0=\sqrt{g/l}\) и противофазном с \(\omega=\sqrt{g/l+2k/m}\)) обе координаты меняются гармонически с одной и той же частотой, значит и их разность гармонична ✓.
Общий вывод. Правило простое: в линейной системе, совершающей гармоническое колебание частоты \(\omega\), любая внутренняя сила меняется гармонически с той же частотой \(\omega\). Именно это и позволяет разрезать систему пополам и рассматривать одну её часть как осциллятор под действием вынуждающей силы — приём, на котором построены задачи 3.5.26 и 3.5.27.