а. Тело массы \(m\), связанное с двух сторон пружинами со стенками, колеблется с частотой \(\omega\) (рисунок к задаче 3.5.25). Определите амплитуду колебаний тела, если известно, что жёсткость левой пружины \(k\), а со стороны правой пружины на тело действует сила \(F_0\sin\omega t\).
б. Тело массы \(m\), слева связанное со стенкой пружиной жёсткости \(k\), а справа жёстко соединённое с другим телом, колеблется с частотой \(\omega\). Определите амплитуду колебаний этого тела, если со стороны второго тела на него действует сила \(F_0\cos\omega t\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Общая выкладка. Пусть \(F(t)\) — вынуждающая сила, \(\omega_0=\sqrt{k/m}\) — собственная частота выделенного осциллятора. Тогда
\[ ma = -kx + F(t),\qquad a = -\omega^{2}x, \] \[ -m\omega^{2}x = -m\omega_0^{2}x + F(t) \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{F(t)}{m\,(\omega_0^{2}-\omega^{2})}. \]Вот и вся формула вынужденных колебаний. Смещение повторяет силу с точностью до множителя \(1/\bigl[m(\omega_0^2-\omega^2)\bigr]\) — положительного при \(\omega<\omega_0\) (смещение в фазе с силой) и отрицательного при \(\omega>\omega_0\) (в противофазе).
а. Здесь \(F = F_0\sin\omega t\), а частота системы \(\omega = \sqrt{(k+k')/m} > \omega_0\) — с двумя пружинами система жёстче, чем с одной. Значит знаменатель отрицателен, смещение противофазно силе, а амплитуда
\[ A = \frac{F_0}{m\,(\omega^{2}-\omega_0^{2})} = \frac{F_0}{m\omega^{2}-k}. \]Проверим «в лоб»: правая пружина действует силой \(-k'x\), значит \(-k'x = F_0\sin\omega t\) и \(A = F_0/k'\). А \(m(\omega^2-\omega_0^2) = (k+k')-k = k'\) ✓ — то же самое.
б. Здесь \(F = F_0\cos\omega t\), а частота системы \(\omega = \sqrt{k/(m+M)} < \omega_0\) — присоединённое тело утяжелило систему. Знаменатель положителен, смещение в фазе с силой, амплитуда
\[ A = \frac{F_0}{m\,(\omega_0^{2}-\omega^{2})} = \frac{F_0}{k-m\omega^{2}}. \]Проверка «в лоб»: на тело \(M\) действует только реакция \(-F\), поэтому \(Ma = -F\), то есть \(x = F/(M\omega^2)\) и \(A = F_0/(M\omega^2)\). А \(m(\omega_0^2-\omega^2) = k - m\omega^2 = (m+M)\omega^2-m\omega^2 = M\omega^2\) ✓.