Если одинаково отклонить грузики маятников в одну сторону и отпустить, то в системе возбудятся колебания с частотой \(\omega_0=\sqrt{g/l}\). Если же отклонить их на равное расстояние в противоположные стороны, возникнут колебания с частотой \(\omega=\sqrt{g/l+2k/m}\). В общем случае движение грузиков есть результат наложения этих колебаний:
\[ x_1 = B\cos(\omega_0t+\varphi) + A\cos\omega t,\qquad x_2 = B\cos(\omega_0t+\varphi) - A\cos\omega t. \]Теперь, рассматривая силу \(F_0\cos\omega t\), действующую на левый грузик со стороны пружины как вынуждающую, определите величину \(A\) через параметры \(F_0\), \(m\), \(\omega_0\) и \(\omega\). Чем определяется выбор параметров \(B\) и \(\varphi\)?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Вынужденная часть. Для левого грузика
\[ ma_1 = -m\omega_0^{2}x_1 + F_0\cos\omega t. \]Подставим только ту часть движения, которая идёт с частотой \(\omega\), то есть \(x_1^{(\omega)} = A\cos\omega t\) (для неё \(a = -\omega^2x\)):
\[ -m\omega^{2}A\cos\omega t = -m\omega_0^{2}A\cos\omega t + F_0\cos\omega t, \] \[ A = \frac{F_0}{m\,(\omega_0^{2}-\omega^{2})}. \]Так как \(\omega^2 = \omega_0^2+2k/m > \omega_0^2\), знаменатель отрицателен: по модулю
\[ |A| = \frac{F_0}{m\,(\omega^{2}-\omega_0^{2})} = \frac{F_0}{2k}, \]и смещение противофазно вынуждающей силе.
Согласованность. Проверим прямо: сила пружины на левый грузик равна \(k(x_2-x_1) = -2kA\cos\omega t\). Значит \(F_0 = -2kA\), то есть \(A = -F_0/(2k)\) ✓ — то же самое.
Что задаёт \(B\) и \(\varphi\). Слагаемое \(B\cos(\omega_0t+\varphi)\) — это свободное колебание выделенного осциллятора; уравнению оно удовлетворяет при любых \(B\) и \(\varphi\). Эти два числа подбираются из начальных условий: заданные \(x(0)=x_0\) и \(v(0)=v_0\) дают два уравнения на две неизвестные.
Отсюда важнейший вывод, который отдельно сформулирован в задачах 3.5.28 и 3.5.29: общее движение осциллятора под действием вынуждающей силы есть сумма свободных колебаний и вынужденных.