Условие
Результат задачи 3.5.27 очень важен: в общем случае движение осциллятора при наличии вынуждающей силы является суммой свободных и вынужденных колебаний. При каких начальных условиях будут происходить только вынужденные колебания?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Общее движение — это \(x = x_{\text{вын}}(t) + B\cos(\omega_0t+\varphi)\). «Только
вынужденные» означает \(B=0\). Значит нужно стартовать ровно из того состояния,
в котором в этот момент находилось бы чисто вынужденное движение.
Вынужденное движение. Пусть сила \(F = F_0\cos\omega t\). Тогда (задача 3.5.26)
\[ x_{\text{вын}}(t) = \frac{F_0}{m(\omega_0^{2}-\omega^{2})}\cos\omega t, \qquad v_{\text{вын}}(t) = -\frac{F_0\,\omega}{m(\omega_0^{2}-\omega^{2})}\sin\omega t. \]Начальные условия. Подставим \(t=0\):
\[ x_0 = \frac{F_0}{m(\omega_0^{2}-\omega^{2})},\qquad v_0 = 0. \]При таком старте \(B=0\), свободная часть не возбуждается, и осциллятор сразу, с первого мгновения, колеблется установившимся образом.
Почему это работает. Свободное слагаемое — это «память» о том, как систему включили. Если включить силу в тот момент, когда осциллятор уже находится в точности в нужной фазе и с нужной скоростью, вспоминать нечего.
Проверка. При \(\omega\to0\) условие превращается в
\(x_0 = F_0/k\), \(v_0=0\) — тело просто держат в новом положении равновесия, и оно
там и остаётся ✓. Если стартовать из покоя в нуле (\(x_0=v_0=0\)), то \(B \ne 0\), и
возникают биения — это задача 3.5.32 ✓. Число условий (два) равно числу свободных
параметров \(B,\varphi\) ✓, поэтому решение единственно. Заметим: в задачнике здесь
опечатка — напечатано \(x_0 = F_0/[m(\omega_0^2-\omega)]\), а должно быть
\(\omega^2\) ✓ (иначе не сходятся даже размерности).
Ответ
\( x_0 = \dfrac{F_0}{m(\omega_0^{2}-\omega^{2})} \), \( v_0 = 0 \) — тогда \(B=0\).