Почему при линейной зависимости вынуждающей силы от смещения и скорости осциллятора общее его движение является суммой свободных и вынужденных колебаний?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Аккуратное рассуждение. Уравнение движения имеет вид
\[ ma = -kx - bv + F(t). \]Пусть \(x_1(t)\) — какое-нибудь его решение (например, найденное нами вынужденное колебание), а \(x_2(t)\) — произвольное другое. Составим разность \(y = x_2 - x_1\). Тогда \(v_y = v_2-v_1\), \(a_y = a_2-a_1\) и, вычитая уравнения друг из друга,
\[ ma_y = -ky - bv_y. \]Внешняя сила исчезла — она одна и та же в обоих уравнениях. Значит \(y\) — свободное (затухающее) колебание. Отсюда
\[ x_2 = x_1 + y = x_{\text{вын}} + x_{\text{св}}. \]Смысл по-физически (так это сформулировано в задачнике): дополнительное ускорение, связанное со свободными колебаниями, умноженное на массу, в точности равно дополнительной внутренней силе. Иными словами, добавка \(y\) «обслуживает сама себя»: возникающие из-за неё упругая и вязкая силы ровно обеспечивают её собственное ускорение, и внешней силе тут делать нечего.
Где это ломается. Если сила зависит от смещения нелинейно (скажем, \(x^2\) или \(\sin x\)), при вычитании уравнений внешние члены не сократятся, и разложение «свободные + вынужденные» перестаёт работать. Тогда возникают эффекты, невозможные в линейной системе: генерация кратных частот, зависимость резонансной частоты от амплитуды, скачки амплитуды.