Почему при вынужденных колебаниях осциллятора с частотой, меньшей его собственной частоты, направления смещения и вынуждающей силы совпадают, а при частоте, большей собственной, противоположны?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Быстрый ответ. Из задачи 3.5.26
\[ x = \frac{F(t)}{m\,(\omega_0^{2}-\omega^{2})}. \]При \(\omega<\omega_0\) множитель положителен — смещение и сила смотрят в одну сторону; при \(\omega>\omega_0\) он отрицателен — в разные. Всё.
Физическое объяснение. Пусть тело на пружине жёсткости \(k\).
Случай \(\omega<\omega_0\). Чтобы та же пружина колебалась медленнее, надо добавить массу. Представим, что к телу прицеплен добавочный груз \(M\), и система колеблется свободно с частотой \(\omega = \sqrt{k/(m+M)} < \omega_0\). Роль вынуждающей силы играет сила со стороны груза \(M\):
\[ F = -Ma = M\omega^{2}x, \]и она направлена по смещению ✓. Это в точности случай б задачи 3.5.26.
Случай \(\omega>\omega_0\). Чтобы то же тело колебалось быстрее, надо добавить пружину. Пусть к телу прицеплена вторая пружина \(k'\), и система колеблется свободно с \(\omega = \sqrt{(k+k')/m} > \omega_0\). Роль вынуждающей силы играет сила добавочной пружины:
\[ F = -k'x, \]и она направлена против смещения ✓. Это случай а задачи 3.5.26.
Что стоит за этим. Осциллятору «навязали» чужую частоту. Если она меньше собственной, упругой силы слишком много, и внешняя сила должна часть её погасить — значит смотреть в ту же сторону, что смещение. Если частота больше собственной, упругой силы не хватает на нужное ускорение, и внешняя сила должна ей помогать — то есть быть направлена к центру, против смещения.