При малых по сравнению с собственной частотой осциллятора частотах вынуждающей силы его смещение можно считать равным \(F(t)/k\), где \(F(t)\) — вынуждающая сила, \(k\) — жёсткость колебательной системы. При больших же частотах вынуждающей силы ускорение осциллятора можно считать равным \(F(t)/m\), где \(m\) — масса осциллятора. Объясните это.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Низкие частоты, \(\omega\ll\omega_0\). Из общей формулы
\[ x = \frac{F(t)}{m(\omega_0^{2}-\omega^{2})} \approx \frac{F(t)}{m\omega_0^{2}} = \frac{F(t)}{k}. \]Физически: сила меняется так медленно, что осциллятор в каждый момент успевает занять равновесное положение, отвечающее текущей силе. Это «квазистатический» режим. Проверим, что инерцией и правда можно пренебречь: \(|ma| = m\omega^{2}|x|\), а \(|kx| = m\omega_0^{2}|x|\), и отношение равно \((\omega/\omega_0)^2 \ll 1\) ✓.
Высокие частоты, \(\omega\gg\omega_0\). Тогда
\[ x \approx -\frac{F(t)}{m\omega^{2}},\qquad a = -\omega^{2}x \approx \frac{F(t)}{m}. \]Физически: сила дёргает так быстро, что тело не успевает заметно сдвинуться, пружина почти не деформируется, и тело ведёт себя как свободная частица. Проверим: \(|kx|/|ma| = (\omega_0/\omega)^2 \ll 1\) ✓ — упругая сила мала.
Мораль. Осциллятор на низких частотах — это пружина (важна жёсткость), а на высоких — это масса (важна инерция). Собственная частота — граница между двумя поведениями, и вблизи неё оба члена сравнимы и почти сокращаются: тогда даже слабая сила даёт огромный отклик. Это и есть резонанс.