В момент времени \(t=0\) на покоящийся в положении равновесия осциллятор начинает действовать вынуждающая сила \(F = F_0\cos\omega t\). Масса осциллятора \(m\), его собственная частота \(\omega_0\). Найдите зависимость координаты осциллятора от времени и постройте её график для \(|\omega-\omega_0|\ll\omega\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Складываем. Общее решение
\[ x(t) = C\cos\omega t + B\cos(\omega_0t+\varphi),\qquad C = \frac{F_0}{m(\omega_0^{2}-\omega^{2})}. \]Условие \(v(0)=0\): скорость \(v = -C\omega\sin\omega t - B\omega_0\sin(\omega_0t+\varphi)\), при \(t=0\) первое слагаемое равно нулю, значит \(\sin\varphi = 0\), возьмём \(\varphi = 0\). Условие \(x(0)=0\) даёт \(C + B = 0\), то есть \(B = -C\). Итак
\[ x(t) = C\,(\cos\omega t - \cos\omega_0 t). \]Превращаем в произведение. Воспользуемся тождеством
\[ \cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\, \sin\frac{\alpha+\beta}{2} \]при \(\alpha = \omega t\), \(\beta = \omega_0 t\):
\[ \boxed{\;x(t) = \frac{2F_0}{m(\omega^{2}-\omega_0^{2})}\, \sin\frac{(\omega-\omega_0)t}{2}\; \sin\frac{(\omega+\omega_0)t}{2}\;} \]Как это выглядит. При \(|\omega-\omega_0|\ll\omega\) второй синус — быстрый (частота \((\omega+\omega_0)/2 \approx \omega\)), первый — медленный. Первый играет роль огибающей: амплитуда медленно нарастает от нуля до максимума
\[ A_{\text{макс}} = \frac{2F_0}{m|\omega^{2}-\omega_0^{2}|} \approx \frac{F_0}{m\,\omega_0\,|\omega-\omega_0|}, \]затем спадает обратно до нуля, и всё повторяется с периодом \(2\pi/|\omega-\omega_0|\). Это биения.
а это в точности \(x = at^2/2\) с начальным ускорением \(a = F_0/m\) ✓ — сильная проверка и знака, и коэффициента.
При \(t=0\) имеем \(x=0\) и \(v=0\) ✓. Чем ближе \(\omega\) к \(\omega_0\), тем больше размах биений, но тем длиннее их период ✓ — это и обсуждается в задаче 3.5.33. Внимание: в задачнике и в самом условии тождество для разности косинусов напечатано без минуса, из-за чего ответ там имеет противоположный знак (\(2F_0/[m(\omega_0^2-\omega^2)]\) вместо \(2F_0/[m(\omega^2-\omega_0^2)]\)); проверка \(x\approx F_0t^2/2m\) показывает, какой знак верен ✓. На вид графика это, впрочем, не влияет.