Раскачка колебаний, как видно из решения задачи 3.5.32, сопровождается биениями. При \(\omega\to\omega_0\) размах биений неограниченно растёт, но зато их период, а значит, и время нарастания неограниченно увеличиваются. Пусть время, прошедшее после начала воздействия вынуждающей силы, много меньше \(2\pi/|\omega-\omega_0|\). Воспользуйтесь приближением \(\sin\varepsilon \approx \varepsilon\) (\(\varepsilon\ll1\)) и определите характер раскачки колебаний в этом случае.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Выкладка. Берём ответ задачи 3.5.32
\[ x(t) = \frac{2F_0}{m(\omega^{2}-\omega_0^{2})}\, \sin\frac{(\omega-\omega_0)t}{2}\,\sin\frac{(\omega+\omega_0)t}{2} \]и заменяем медленный синус его аргументом:
\[ \sin\frac{(\omega-\omega_0)t}{2} \approx \frac{(\omega-\omega_0)t}{2}. \]Тогда, замечая, что \(\omega^2-\omega_0^2 = (\omega-\omega_0)(\omega+\omega_0)\), множитель \((\omega-\omega_0)\) сокращается:
\[ x(t) \approx \frac{2F_0}{m(\omega-\omega_0)(\omega+\omega_0)}\cdot \frac{(\omega-\omega_0)t}{2}\,\sin\frac{(\omega+\omega_0)t}{2} = \frac{F_0\,t}{m(\omega+\omega_0)}\,\sin\frac{(\omega+\omega_0)t}{2}. \]Вывод. В начале раскачки амплитуда растёт линейно со временем:
\[ A(t) = \frac{F_0\,t}{m(\omega+\omega_0)}, \]и — самое интересное — в этой формуле разности \(\omega-\omega_0\) больше нет. Значит начальная стадия раскачки идёт совершенно одинаково при любой близкой к резонансу частоте: пока время мало по сравнению с \(2\pi/|\omega-\omega_0|\), осциллятор «не знает», точно ли попали в резонанс.