Выяснить характер раскачки колебаний при \(\omega=\omega_0\) можно, перейдя в выражении для координаты \(x(t)\) к пределу \(\omega\to\omega_0\) (см. ответ к задаче 3.5.32). Как объяснить, что амплитуда колебаний растёт в этом случае пропорционально времени?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Предел. В формуле задачи 3.5.33 положим \(\omega = \omega_0\):
\[ x(t) = \frac{F_0\,t}{2m\omega_0}\,\sin\omega_0 t. \]Амплитуда \(A(t) = F_0t/(2m\omega_0)\) растёт линейно и неограниченно — это и есть резонанс без затухания.
Почему именно линейно — энергетический вывод. На резонансе сила \(F = F_0\cos\omega_0t\) и скорость \(v \approx A\omega_0\cos\omega_0 t\) идут в фазе: сила всё время толкает по движению и никогда не тормозит. Средняя за период мощность
\[ \overline{N} = \overline{Fv} = F_0A\omega_0\,\overline{\cos^{2}\omega_0t} = \frac{F_0A\omega_0}{2} \;\propto\; A. \]С другой стороны, энергия осциллятора
\[ E = \frac{m\omega_0^{2}A^{2}}{2}\;\propto\;A^{2}. \]За малое время \(\Delta t\) энергия вырастет на \(\overline{N}\Delta t\). Приравняем приращения:
\[ m\omega_0^{2}A\,\Delta A = \frac{F_0A\omega_0}{2}\,\Delta t \quad\Longrightarrow\quad \frac{\Delta A}{\Delta t} = \frac{F_0}{2m\omega_0} = \text{const}. \]Амплитуда \(A\) сократилась! Скорость роста амплитуды не зависит от того, насколько осциллятор уже раскачан, — значит рост равномерный ✓. Полученная постоянная в точности совпадает с коэффициентом при \(t\) в формуле выше ✓.
Ещё короче — на языке импульса. За каждый период сила передаёт одну и ту же порцию импульса (она ведь всегда в фазе со скоростью), значит скорость растёт равными ступеньками — ровно как в задаче 3.5.1 с ударами в такт.