Пусть имеются колебания со слабым затуханием: коэффициент затухания \(\gamma\ll\omega_0\). Как оно скажется на раскачке колебаний осциллятора из состояния покоя в положении равновесия при \(|\omega-\omega_0|\gg\gamma\) и при \(\omega=\omega_0\)? Почему в этих случаях уместно говорить об установлении вынужденных колебаний? Каково характерное время этого установления?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Общая структура. По задаче 3.5.29
\[ x(t) = \underbrace{C\cos(\omega t-\psi)}_{\text{вынужденное, не гаснет}} + \underbrace{B\,e^{-\gamma t}\cos(\omega_0t+\varphi)}_{\text{свободное, гаснет}}. \]Случай \(|\omega-\omega_0|\gg\gamma\). Период биений \(2\pi/|\omega-\omega_0|\) короче времени затухания \(1/\gamma\), поэтому сначала мы успеваем увидеть несколько биений. Но с каждым разом свободная составляющая слабеет, «провалы» биений становятся всё мельче, и через время порядка \(1/\gamma\) остаются чистые вынужденные колебания постоянной амплитуды \(C = F_0/\bigl[m|\omega_0^2-\omega^2|\bigr]\).
Случай \(\omega=\omega_0\). Биений нет, есть линейный рост (задача 3.5.34). Но расти вечно он не может: как только амплитуда становится такой, что потери за период сравниваются с притоком, рост прекращается. Кривая \(A(t)\) плавно загибается и выходит на полку
\[ A_{\text{уст}} = \frac{F_0}{2\gamma m\omega_0} \](задача 3.5.36). Формально \(A(t) = A_{\text{уст}}\bigl(1-e^{-\gamma t}\bigr)\): в начале это \(A_{\text{уст}}\gamma t = F_0t/(2m\omega_0)\) — тот самый линейный рост ✓.
Почему «установление». Потому что итог не зависит от начальных условий: какая бы ни была свободная добавка, через время \(\sim1/\gamma\) она вымирает, и осциллятор приходит к одному и тому же режиму, полностью определённому вынуждающей силой. Начальные условия забываются.
Характерное время. Это время затухания свободных колебаний
\[ \tau = \frac{1}{\gamma} = \frac{2Q}{\omega_0}, \]то есть примерно \(Q/\pi\) периодов. Чем острее резонанс, тем дольше он устанавливается — за всё надо платить.